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Matrículas Curiosas19.2.07
Paco y Pepe, dos amigos muy aficionados a las matemáticas, discuten acerca de los números de las matrículas de sus coches (son números de 4 dígitos). Pepe dice:

- Pues encuentro el número de mi matrícula un poco aburrido.

- ¡No digas eso! - replica Paco -. Es un número muy bonito..., el más pequeño que se puede escribir como suma de dos cubos de dos formas diferentes. [Entiéndase un "cubo" como el resultado de multiplicar un número por sí mismo tres veces.]

- Ah, tienes razón, se puede escribir como suma de dos cubos de dos formas distintas. No me había fijado que es el más pequeño número que lo cumple. Sin embargo esa propiedad es muy rebuscada. Yo cuando miro una matrícula suelo jugar con sus 4 dígitos para formar números de una, dos, tres y cuatro cifras que cumplen una propiedad mucho más sencilla...

Y como si tuviese miedo a que alguien se enterase, Pepe dijo a Paco al oído cuál era esa propiedad.

- Bueno - dijo Paco tras pensar un rato -, jugando con las cifras de tu matrícula puedes obtener 4 números que cumplen dicha propiedad.

- Ya - asintió Pepe -, pero con los de la tuya se pueden obtener ni más ni menos que 10, lo máximo que se puede obtener con cuatro cifras. Y eso que tu matrícula y la mía comparten el primer y último dígito.

- Ah, qué curioso, es verdad, ... Entonces mi número de matrícula es muy especial.

- Bueno, como es evidente hay otros 23 números de 4 cifras que cumplen la misma propiedad, pero el tuyo es el más pequeño de ellos.

Y la conversación siguió por unos derroteros muy semejantes, discutiendo acerca de números y propiedades curiosas de los mismos... Pero este fragmento de conversación es suficiente para que podamos averiguar los números de sus matrículas.

¿Cuáles son?

Acertijo propuesto por Pepe.

AntonioT

Acertijo Propuesto por:
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Comentarios:

AntonioT dijo:
A ver si con esto le doy a alguien la pista que necesita para sacarlo, pero yo me he bloqueado y tengo que despejar la cabeza un rato para poder seguir.

El primero de los números me sonaba de algo, lo calculé y luego me di cuenta de que se trataba del número de Hardy-Ramanujan, el 1729.

El segundo tiene en común el primer y último números, luego será un 1AB9, y ya que hay 24 posibles combinaciones con esos dígitos, lo que nos dice es que A<>B además de no ser ni 1 ni 9, y al ser el más pequeño posible será 1 < A < B < 9.

Ahora hay que buscar una forma de combinar los dígitos de un número de cuatro cifras de forma que tenga que haber 10 posibilidades distintas, ya que es el máximo que pueden cumplir la otra condición y doy por hecho que serán todas las posibles, quizá aquí esté patinando y por eso me bloqueo. Y sólo se me ocurre que se trate de las diferentes sumas que se pueden hacer con los dígitos a excepción del número completo. Pero no consigo ver que propiedad cumplen sólo cuatro en la primera matrícula que puedan cumplir todas las sumas para la segunda matrícula.
a las 11:32 a. m.  
pepellou dijo:
Muy bien, antoniot, vas por el buen camino. Pero la forma de jugar con los dígitos de la segunda matrícula es más simple aún que hacer sumas, simplemente es formar dígitos con esas cifras. Por ejemplo, si la propiedad que Pepe dijo a Paco al oído fuese "múltiplo de 3", con las cifras de la matrícula 1729 se podrían formar 17 números que cumplen esa propiedad:

9, 12, 21, 27, 72, 129, 192, 219, 279, 291, 297, 729, 792, 912, 921, 927 y 972

Espero haber aclarado el problema con este ejemplo. Sólo has de buscar qué propiedad cumplen exactamente 4 de todos los números de 1 a 4 cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 7 y 9.
a las 12:04 p. m.  
Aquende dijo:
Alguna cosa curiosa aparece, pero si la propiedad es más sencilla está claro que esa no es:

9 = 1^3 + 2^3
72= 2^3 + 4^3
217= 1^3 + 6^3
1792= 4^3 + 12^3
a las 12:44 p. m.  
pepellou dijo:
Aquende dijo...

Alguna cosa curiosa aparece, pero si la propiedad es más sencilla está claro que esa no es:

9 = 1^3 + 2^3
72= 2^3 + 4^3
217= 1^3 + 6^3
1792= 4^3 + 12^3

... NO, esa no es. Es más simple.
a las 12:52 p. m.  
Aquende dijo:
El cuerpo me pide que sea 1469, pero aún no lo he demostrado.
a las 1:29 p. m.  
AntonioT dijo:
La segunda matrícula es 1369.

La propiedad es que la combinación generada a partir de esos cuatro dígitos sea un cuadrado perfecto.
Para 1729 salen: 1, 9, 729, 7921, o sea 4.
Para 1369 salen: 1, 9, 16, 36, 169, 196, 361, 961, 1369, 1936, o sea 10.
a las 1:56 p. m.  
AntonioT dijo:
¡ufff! Esta no te la perdono, me has hecho darle a la neurona y a la hoja de cálculo y uno ya peina canas y no está para estos esfuerzos :P
a las 2:02 p. m.  
Aquende dijo:
Totalmente de acuerdo, AntonioT, mi Excel echa humo y mis canas casi blanquean más, si cabe.
a las 2:06 p. m.  
pepellou dijo:
Correcto, antoniot !!

Estuviste cerca, aquende; 1469 da lugar a 9 cuadrados perfectos, igual que 1269.
a las 2:55 p. m.  
Anónimo dijo:
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a las 1:47 p. m.  
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