Pasa Ratos
Bolilleros3.4.07
Se tienen 2 bolilleros y 101 bolillas que se encuentran numeradas del 1 al 101. Se colocan todas las bolillas repartidas en los 2 bolilleros. Se calcula el promedio que da la suma de todos los números de bolillas sobre el total de bolillas de cada bolillero. Luego se traspasa 1 bolilla de un bolillero a otro. Se vuelven a calular los promedios y en ambos bolilleros el promedio ha aumentado 1/85 (no como porcentaje del pormedio anterior, sino absoluto). La pregunta es ¿cuantas bolillas había originalmente en cada uno de los bolilleros?

Homero

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Anónimo dijo:
Según mi humilde opinión, existen muchas soluciones posibles, pero en todas las que he encontrado, ambos bolilleros tienen el mismo número de bolillas.

Un saludo
a las 8:15 p. m.  
Pablo Sussi dijo:
En efecto, que hay muchas soluciones en cuanto a que bolillas hay en los bolilleros, pero no en cuantas bolillas hay en cada uno
a las 8:30 p. m.  
homero dijo:
Definimos S1 como la suma y n1 el número de bolillas en el bolillero 1, antes del cambio. Sea x la bolilla intercambiada.

El promedio antes y después del cambio es:

P1 = S1 / n1
P'1 = (S1-x) / (n1-1)

La diferencia entre ambos debe ser 1/85:

P'1 - P1 = (S1 - x·n1) / n1·(n1-1) = 1 / 85

como todos los números son enteros, se tiene que dar que n1·(n1-1) es un múltiplo de 85. La descomposición prima de 85 es 17·5.
Los primeros múltiplos de 17 son 17, 34, 51, 68, 85, 102, y como los múltiplos de 5 terminan todos en 0 o 5, la única opción para n1·(n1-1) es 50*51 = 30*85.

Por lo tanto, los montones tienen 50 y 51 bolitas originalmente, y se le saca una al de 51 para dársela al de 50.

No es necesario calcular el resto de los valores (S1, x), simplemente voy a creerle al enunciado que la solución existe :)

Buen problema, Pablo!

Saludos!
a las 10:12 p. m.  
Pablo Sussi dijo:
Muy buen razonamiento Homero!!!..
A mi me llevo mucho mas calcularlo
a las 12:20 a. m.  
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