Pasa Ratos
La hormiga excursionista30.1.07
Una hormiga vive en el origen del plano cartesiano. Un día decide salir de excursión y promete cumplir las siguientes cinco reglas:

1) El primer día caminará en línea recta una distancia de una unidad y, a partir del segundo día, todos los días andará exactamente una unidad más que el día anterior, pero siempre en línea recta.

2) Todas las noches las pasará en un lugar con coordenadas enteras.

3) Durante su recorrido nunca cruzará por ningún lugar por el que haya pasado antes.

4) En todo su recorrido nunca cruzará ninguno de los dos ejes del plano cartesiano.

5) Al iniciar su recorrido cada mañana, la hormiga cambiará la dirección que llevaba el día anterior.

Si la hormiga cumple sus reglas durante toda la excursión, ¿es posible que pueda regresar a su casa algún día? (preferiblemente adjuntar solución gráfica)


psussi

Acertijo Propuesto por:
Etiquetas: ,
Comentarios:

Labot dijo:
un triángulo:
de lados 2, 3 y 4 (3=2+1 y 4=3+1)

se resuelve por el teórema del "coseno" ?

debe salir que la hormiga parte el primer día con rumbo 46,5, recorre 2 (millas) después vira a estribor (perdón, a la derecha) 104 grados. Ahora va rumbo sudeste y recorre 3 (millas), por último vuelve a virar a estribor 29 grados y tras recorrer 4 millas llega al origen...

más o menos ;-)
a las 11:05 a. m.  
Aquende dijo:
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
a las 12:30 p. m.  
Aquende dijo:
Labot dijo...
un triángulo: ....... y tras recorrer 4 millas llega al origen...
más o menos ;-)

La condición 1) dice que el primer día recorre una unidad.
a las 12:33 p. m.  
laceci dijo:
Puede ir en diagonal?
a las 8:38 p. m.  
luzbell dijo:
Yo creo que no.
Por la norma 1, va a moverse 1, 2, 3, etc. unidades.
Por la norma 2, sólo puede moverse en líneas horizontales o verticales, ya que si no, no acabaría en puntos de coordenadas enteras.
Por la norma 5, no puede andar dos días en la misma dirección.
Por lo que, por la norma 4, no puede volver hacia atrás, porque como anda 1 unidad más que el día anterior, cruzaría los ejes.

Por ejemplo:
El primer día desde el origen (0,0) hacia la derecha (1,0). (Es indiferente en qué dirección salga)
El segundo día hacia arriba al (2,1). (También es indiferente arriba o abajo)
El tercer día ya sólo puede andar hacia la derecha (4,2) porque:
* Por la norma 2 debe ir hacia derecha, izquierda, arriba o abajo.
* Por la norma 3 no puede volver hacia abajo.
* Por la norma 4 no puede ir a la izquierda.
* Por la norma 5 no puede seguir hacia arriba.

Por tanto, nunca podrá volver a casa. (Espero :P)
a las 8:44 p. m.  
luzbell dijo:
Perdón, el segundo día va a (1,2).

(0,0) -(1)-> (1,0) -(2)-> (1,2) -(3)-> (4,2) -(4)-> (4,6) -(5)-> (9,6)
Etc.
a las 8:48 p. m.  
luzbell dijo:
Vaya, acabo de ver que por el teorema de Pitágoras, a veces podría moverse en oblícuo (diagonal de 45º no, porque no habrá lados iguales).
Seguiré estudiándolo :)
a las 8:57 p. m.  
Aquende dijo:
Debe moverse en línea recta y dormir en una casa con coordenadas enteras. Si alguien encuentra un movimiento diagonal que cumpla las reglas entonces puede moverse en diagonal; si no, no.
Lo cual es tanto como no decir nada.
a las 10:03 p. m.  
Aquende dijo:
¡Ah! Luzbell ¿por qué crees que además de gráfico lo etiqueté de matemático?
a las 10:45 p. m.  
luzbell dijo:
¿Se puede demostrar buscando de alguna forma una suma de cuadrados? ¿O hay que ir probando con "la cuenta de la vieja"?
a las 1:08 a. m.  
Aquende dijo:
Prueba y error, creo.
a las 4:33 a. m.  
luzbell dijo:
Los primeros números que se podrían utilizar como hipotenusas de triángulos son:
5, 10, 13, 15, 17, 20, 25 (de dos maneras), 26, 29...
Eso quiere decir que los primeros pasos (1, 2, 3, 4) hay que darlos formando una "escalera" (no creo que importe empezar en horizontal o vertical).
Sin embargo, al llegar al 5, ya hay 8 posibilidades (una en horizontal o vertical, y otras siete empleando el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4: 3^2+4^2=5^2).
Por lo que seguir el método ensayo-error puede ser un poco laborioso.
¿Hay que llegar a un número elevado de pasos para encontrar la solución?
a las 9:46 p. m.  
Aquende dijo:
Pista: ¿Cuál es la primera tripleta de enteros consecutivos que cumplen el teorema de Pitágoras?

Tras eso solo hay dos opciones: la mala y la buena.

Más que pista es pistón.
a las 9:50 p. m.  
psussi dijo:
Los cuatroi primeros pasos son obligados y son (1,0)(1,2)(4,2)y(4,6)De ahí y siguiendo la pista de aquende pasamos por la hipotenusa a (7,2)recorriendo una distancia de 5 , luego pasamos recorriendo 6 a (7,8)y luego a (0,8) y (0,0)Me felicito a mi mismo miren.
a las 10:50 p. m.  
Aquende dijo:
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
a las 11:07 p. m.  
Aquende dijo:
Ganadora Psussi

Paseo.
a las 11:14 p. m.  
Aquende dijo:
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
a las 11:14 p. m.  
luzbell dijo:
Enhorabuena, psussi.
Mira que le dí vueltas, y sólo era necesaria una diagonal... :(
a las 3:38 a. m.  
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